数学と英語のテスト結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を小数点第二位まで求めます。数学の点数は91, 87, 75, 65, 77で、英語の点数は63, 63, 55, 70, 69です。

1. 問題の内容

数学と英語のテスト結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を小数点第二位まで求めます。数学の点数は91, 87, 75, 65, 77で、英語の点数は63, 63, 55, 70, 69です。

2. 解き方の手順

相関係数$r$は次の式で計算できます。

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

ここで、$x_i$は数学の点数、$y_i$は英語の点数、$\bar{x}$は数学の平均点、$\bar{y}$は英語の平均点、$n$はデータ数(5)です。

まず、数学と英語の平均点を計算します。

$\bar{x} = \frac{91 + 87 + 75 + 65 + 77}{5} = \frac{395}{5} = 79$

$\bar{y} = \frac{63 + 63 + 55 + 70 + 69}{5} = \frac{320}{5} = 64$

次に、各データ点について$(x_i - \bar{x})$と$(y_i - \bar{y})$を計算します。

| | 数学($x_i$) | 英語($y_i$) | $x_i - \bar{x}$ | $y_i - \bar{y}$ |

|---|---------------|---------------|-----------------|-----------------|

| A | 91 | 63 | 12 | -1 |

| B | 87 | 63 | 8 | -1 |

| C | 75 | 55 | -4 | -9 |

| D | 65 | 70 | -14 | 6 |

| E | 77 | 69 | -2 | 5 |

次に、$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$を計算します。

$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (12)(-1) + (8)(-1) + (-4)(-9) + (-14)(6) + (-2)(5) = -12 - 8 + 36 - 84 - 10 = -78$

次に、$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$と$\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$を計算します。

$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 12^2 + 8^2 + (-4)^2 + (-14)^2 + (-2)^2 = 144 + 64 + 16 + 196 + 4 = 424$

$\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-9)^2 + 6^2 + 5^2 = 1 + 1 + 81 + 36 + 25 = 144$

したがって、相関係数は次のようになります。

$r = \frac{-78}{\sqrt{424 \cdot 144}} = \frac{-78}{\sqrt{61056}} = \frac{-78}{247.095} \approx -0.3156$

小数点第二位まで丸めると、相関係数は-0.32となります。

3. 最終的な答え

-0.32