数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3a_n - 2$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3a_n - 2$

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を $a_{n+1} - c = 3(a_n - c)$ の形に変形することを考えます。

そのため、$c = 3c - 2$ を満たす $c$ を求めます。

$c = 3c - 2$ を解くと $2c = 2$ より $c = 1$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = a_{n+1} - 1$ となり、漸化式は $b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは数列 $\{b_n\}$ が公比3の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ です。

したがって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ ですから、$a_n = 3^{n-1} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} + 1$