与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2-y^2-z^2+2yz$ (2) $(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24$ (3) $x^4-7x^2+12$ (4) $(a+b+c+1)(a+1)+bc$ (5) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ (6) $abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2-y^2-z^2+2yz$

(2) $(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24$

(3) $x^4-7x^2+12$

(4) $(a+b+c+1)(a+1)+bc$

(5) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$

(6) $abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $x^2-y^2-z^2+2yz = x^2-(y^2-2yz+z^2) = x^2 - (y-z)^2 = (x+(y-z))(x-(y-z)) = (x+y-z)(x-y+z)$

(2) $(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24 = (x-3)(x+4)(x-1)(x+2)+24 = (x^2+x-12)(x^2+x-2)+24$

$y = x^2+x$ とおくと、

$(y-12)(y-2)+24 = y^2 -14y+24+24=y^2-14y+48 = (y-6)(y-8)=(x^2+x-6)(x^2+x-8) = (x+3)(x-2)(x^2+x-8)$

(3) $x^4-7x^2+12 = (x^2)^2 -7x^2+12$

$y=x^2$ とおくと、

$y^2-7y+12 = (y-3)(y-4)=(x^2-3)(x^2-4)=(x^2-3)(x+2)(x-2)$

(4) $(a+b+c+1)(a+1)+bc = a^2+a+ab+b+ac+c+a+1+bc = a^2+2a+1+ab+ac+b+c+bc = (a+1)^2 + (b+c)(a+1) +bc= (a+1)^2+(b+c)(a+1)+bc = (a+1+b)(a+1+c) = (a+b+1)(a+c+1)$

(5) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2-a^2b + bc^2 - ac^2 + ca^2 - cb^2 = ab(b-a)+c^2(b-a)+ac(a-c)-bc(b-c) = ab(b-a) - c^2(a-b) + ac^2-a^2c - bc^2 +b^2c = ab(b-a)-c^2(a-b) -ac(c-a) -bc(c-b) = -(a-b)a*b - (a-b)*c^2 -ac(c-a) -bc(c-b)= -(a-b)(ab + c^2)-ac(c-a)-bc(c-b)= -(a-b)(ab + c^2) -ac^2 +a^2c + bc^2-b^2c = -(a-b)(ab+c^2)+ac(a-c) +bc(c-b)=-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2 -ac^2+ca^2 -b^2c+bc^2=-(a-b)(b-c)(c-a)$

(6) $abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)= abx^2 - a^2x - b^2x + a^2 - b^2 = ax(bx-a) - (b^2x - a^2)+b^2x+ a^2-b^2$

$abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)= abx^2-a^2x -b^2x +a^2-b^2 = ax(bx-a) - b(bx-a) - b^2 x+ a^2-b^2=(ax-b)(bx-a) -(bx-a)(bx+a)$

$abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2) = abx^2 - a^2x -b^2x + a^2-b^2 = ax(bx-a) -b(bx-a)-(a+b)(bx-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-z)(x-y+z)$

(2) $(x+3)(x-2)(x^2+x-8)$

(3) $(x^2-3)(x+2)(x-2)$

(4) $(a+b+1)(a+c+1)$

(5) $-(a-b)(b-c)(c-a) = (a-b)(b-c)(a-c)$

(6) $(ax-b)(bx-a) \checkmark abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)$

(6)の別の解法:

$abx^2-(a^2+b^2)x + (a^2-b^2)=abx^2-a^2x-b^2x+a^2-b^2=(ax-b)(bx-a)$

$ax(bx-a)-b(bx-a)$

なので、$(ax-b)(bx-a)$