袋の中に白玉3個と黒玉2個が入っています。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を$X$とします。このとき、確率変数$Y = -5X + 3$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に白玉3個と黒玉2個が入っています。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を$X$とします。このとき、確率変数$Y = -5X + 3$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求めます。$X$は白玉の出る回数なので、$X$は0回、1回、2回のいずれかの値を取ります。

* $X=0$の場合（2回とも黒玉）：

$P(X=0) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

* $X=1$の場合（1回白玉、1回黒玉）：

白玉が最初に出る場合と、黒玉が最初に出る場合の2パターンがあります。

$P(X=1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

* $X=2$の場合（2回とも白玉）：

$P(X=2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

次に、$X$の期待値$E(X)$を計算します。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{3}{5} + \frac{6}{10} = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

次に、$X^2$の期待値$E(X^2)$を計算します。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{3}{5} + 2^2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{3}{5} + \frac{12}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

次に、$X$の分散$V(X)$を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$

次に、$X$の標準偏差$\sigma(X)$を計算します。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

次に、$Y = -5X + 3$の期待値$E(Y)$を計算します。

$E(Y) = E(-5X + 3) = -5E(X) + 3 = -5 \times \frac{6}{5} + 3 = -6 + 3 = -3$

次に、$Y = -5X + 3$の標準偏差$\sigma(Y)$を計算します。

$\sigma(Y) = \sigma(-5X + 3) = |-5|\sigma(X) = 5 \times \frac{3}{5} = 3$

3. 最終的な答え

期待値$E(Y)$: -3

標準偏差$\sigma(Y)$: 3