関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ について、$x=3$ における微分係数を定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ について、$x=3$ における微分係数を定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$、$a = 3$ なので、以下の式を計算します。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{3+h}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{h}$

まず、分子を通分します。

$\frac{1}{\sqrt{3+h}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3+h}}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}}$

次に、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3+h}}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{3+h})(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})} = \frac{3 - (3+h)}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})} = \frac{-h}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

これを元の式に代入すると、

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(3) = \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{3})} = \frac{-1}{3(2\sqrt{3})} = \frac{-1}{6\sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$f'(3) = \frac{-1}{6\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{18}$