与えられた2次方程式 $x^2 + 2x - 1 = 0$ について、以下の問題を解く必要があります。 (1) 2次方程式の解を求める。 (2) 2つの解のうち大きい方を $p$ とするとき、$|p-1|$ を求める。さらに、$q = |p-1|$ とするとき、$p - \frac{2}{q}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 + 2x - 1 = 0$ について、以下の問題を解く必要があります。

(1) 2次方程式の解を求める。

(2) 2つの解のうち大きい方を $p$ とするとき、$|p-1|$ を求める。さらに、$q = |p-1|$ とするとき、$p - \frac{2}{q}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 1 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

したがって、解は $x = -1 + \sqrt{2}$ と $x = -1 - \sqrt{2}$ です。

(2) 2つの解のうち大きい方は $p = -1 + \sqrt{2}$ です。

$|p-1| = |-1 + \sqrt{2} - 1| = |\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$ （$\sqrt{2} < 2$ なので）

$q = |p-1| = 2 - \sqrt{2}$ です。

$p - \frac{2}{q} = (-1 + \sqrt{2}) - \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$

ここで、$\frac{2}{2 - \sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{2}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{2} = 2 + \sqrt{2}$

したがって、$p - \frac{2}{q} = (-1 + \sqrt{2}) - (2 + \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} = -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1 \pm \sqrt{2}$

(2) $|p-1| = 2 - \sqrt{2}$

(3) $p - \frac{2}{q} = -3$