白玉6個と黒玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数をXとする。このとき、Xの標準偏差を求める。

1. 問題の内容

白玉6個と黒玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数をXとする。このとき、Xの標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

Xは白玉の出る回数なので、Xが取りうる値は0, 1, 2である。

まず、それぞれの確率を計算する。

* X=0となるのは、2回とも黒玉が出る場合である。

1回目に黒玉が出る確率は $3/9 = 1/3$ である。

1回目に黒玉が出たとき、2回目に黒玉が出る確率は $2/8 = 1/4$ である。

したがって、P(X=0) = $(1/3) \times (1/4) = 1/12$

* X=1となるのは、1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出るか、1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る場合である。

1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出る確率は $(6/9) \times (3/8) = (2/3) \times (3/8) = 1/4$ である。

1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率は $(3/9) \times (6/8) = (1/3) \times (3/4) = 1/4$ である。

したがって、P(X=1) = $1/4 + 1/4 = 1/2$

* X=2となるのは、2回とも白玉が出る場合である。

1回目に白玉が出る確率は $6/9 = 2/3$ である。

1回目に白玉が出たとき、2回目に白玉が出る確率は $5/8$ である。

したがって、P(X=2) = $(2/3) \times (5/8) = 5/12$

次に、期待値E(X)を計算する。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times (1/12) + 1 \times (1/2) + 2 \times (5/12) = 0 + 1/2 + 10/12 = 6/12 + 10/12 = 16/12 = 4/3$

次に、分散V(X)を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 \times (1/12) + 1 \times (1/2) + 4 \times (5/12) = 0 + 1/2 + 20/12 = 6/12 + 20/12 = 26/12 = 13/6$

$(E(X))^2 = (4/3)^2 = 16/9$

$V(X) = 13/6 - 16/9 = 39/18 - 32/18 = 7/18$

最後に、標準偏差σ(X)を計算する。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{7/18} = \sqrt{14/36} = \sqrt{14}/6$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{14}}{6}$