与えられた式の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の3つの式について分母を有理化します。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

はい、承知しました。以下の問題について、それぞれ解答します。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の3つの式について分母を有理化します。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

まず、分母を$(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$と考え、$(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{1}{ (1+\sqrt{5})+\sqrt{6} } \times \frac{ (1+\sqrt{5})-\sqrt{6} }{ (1+\sqrt{5})-\sqrt{6} }$

$= \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{1+2\sqrt{5}+5 - 6}$

$= \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに、分子と分母に$\sqrt{5}$をかけます。

$= \frac{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

まず、分母を$(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$と考え、$(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

$= \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}$

分子を展開します。

$(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-2+\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{6}-3$

$= -4+2\sqrt{6}$

分母を展開します。

$(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{2}+2-3 = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{-4+2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{-2+\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{(-2+\sqrt{6})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{12}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

まず、分母を$(3+\sqrt{3})+\sqrt{6}$と考え、$(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{1}{(3+\sqrt{3})+\sqrt{6}} \times \frac{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}}$

$= \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{9+6\sqrt{3}+3 - 6}$

$= \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6+6\sqrt{3}}$

$= \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1+\sqrt{3})} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{18}}{6(1-3)} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$