## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた5つの極限を計算する問題です。それぞれの極限は以下の通りです。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{(x+3)\log x}{x-1}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{e^x + e^{-x} - 2}$

(3) $\lim_{x\to \infty} x^2 e^{-\sqrt{x}}$

(4) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} (x - \frac{\pi}{2})\tan x$

(5) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\log(x+1)})$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x\to 1} \frac{(x+3)\log x}{x-1}$**

ロピタルの定理を使うか、もしくは$\log x$をテイラー展開します。ここではテイラー展開を使用します。

$x=1+h$とおくと、$x \to 1$のとき$h \to 0$となる。

$\lim_{x\to 1} \frac{(x+3)\log x}{x-1} = \lim_{h\to 0} \frac{(4+h)\log(1+h)}{h}$

$\log(1+h)$の$h=0$におけるテイラー展開は、$\log(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \dots$

$\lim_{h\to 0} \frac{(4+h)(h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \dots)}{h} = \lim_{h\to 0} (4+h)(1 - \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3} - \dots)$

$= 4$

**(2) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{e^x + e^{-x} - 2}$**

ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{e^x + e^{-x} - 2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

**(3) $\lim_{x\to \infty} x^2 e^{-\sqrt{x}}$**

$t=\sqrt{x}$とおくと、$x \to \infty$のとき$t \to \infty$となる。

$\lim_{x\to \infty} x^2 e^{-\sqrt{x}} = \lim_{t\to \infty} t^4 e^{-t} = \lim_{t\to \infty} \frac{t^4}{e^t}$

ロピタルの定理を4回適用します。

$\lim_{t\to \infty} \frac{t^4}{e^t} = \lim_{t\to \infty} \frac{4t^3}{e^t} = \lim_{t\to \infty} \frac{12t^2}{e^t} = \lim_{t\to \infty} \frac{24t}{e^t} = \lim_{t\to \infty} \frac{24}{e^t} = 0$

**(4) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} (x - \frac{\pi}{2})\tan x$**

$t = x - \frac{\pi}{2}$とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}+0$のとき$t \to 0+0$となる。

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0} (x - \frac{\pi}{2})\tan x = \lim_{t\to 0} t\tan (t + \frac{\pi}{2}) = \lim_{t\to 0} t(-\cot t) = \lim_{t\to 0} -t\frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t\to 0} -\cos t \frac{t}{\sin t}$

$\lim_{t\to 0} -\cos t \frac{t}{\sin t} = -\cos 0 \cdot 1 = -1$

**(5) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\log(x+1)})$**

$\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\log(x+1)}) = \lim_{x\to 0} \frac{\log(x+1) - x}{x\log(x+1)}$

$\log(1+x)$をテイラー展開します。$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(x+1) - x}{x\log(x+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) - x}{x(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots)} = \lim_{x\to 0} \frac{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots}{x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots} = \lim_{x\to 0} \frac{- \frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \dots}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots} = -\frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\frac{1}{2}$

(3) 0

(4) -1

(5) $-\frac{1}{2}$