$a$ を正の定数とするとき、関数 $y=2x^2-2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。また、関数 $y=2x^2-2x$ ($0 \le x \le a$) の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $y=2x^2-2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。また、関数 $y=2x^2-2x$ ($0 \le x \le a$) の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 2x$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - x)$

$y = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

したがって、この2次関数の頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ です。グラフは下に凸の放物線です。

(1) 最大値を求める。

場合分けをします。$0 \le x \le a$ の範囲で考えます。

(i) $0 < a < 1$ のとき:

$x=0$ のとき、$y=0$ であり、$x=a$ のとき、$y = 2a^2 - 2a$ です。

$x=0$ と $x=a$ の大小関係を調べます。

$2a^2 - 2a - 0 = 2a(a-1)$

$0 < a < 1$ なので、$a-1 < 0$ より $2a(a-1) < 0$ となります。

したがって、$x=0$ のとき最大値 $0$ をとります。

(ii) $a=1$ のとき:

$x=0$ のとき、$y=0$ であり、$x=1$ のとき、$y = 2(1)^2 - 2(1) = 0$ です。

$x=0,1$のとき、最大値は0です。

(iii) $a > 1$ のとき:

$x=a$ のとき、$y = 2a^2 - 2a$ であり、$x=0$ のとき、$y=0$ です。

$2a^2 - 2a - 0 = 2a(a-1)$

$a > 1$ なので、$a-1 > 0$ より $2a(a-1) > 0$ となります。

したがって、$x=a$ のとき最大値 $2a^2 - 2a$ をとります。

(2) 最小値を求める。

(i) $0 < a \le \frac{1}{2}$ のとき:

定義域 $0 \le x \le a$ が頂点の $x$ 座標 $\frac{1}{2}$ を含まないので、$x=a$ のときに最小値をとります。

$x=a$ のとき、$y = 2a^2 - 2a$ です。

(ii) $a > \frac{1}{2}$ のとき:

定義域 $0 \le x \le a$ が頂点の $x$ 座標 $\frac{1}{2}$ を含むので、$x=\frac{1}{2}$ のときに最小値をとります。

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：

$0 < a \le 1$ のとき、$x=0$ で最大値 $0$

$a > 1$ のとき、$x=a$ で最大値 $2a^2 - 2a$

最小値：

$0 < a \le \frac{1}{2}$ のとき、$x=a$ で最小値 $2a^2 - 2a$

$a > \frac{1}{2}$ のとき、$x=\frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{1}{2}$