与えられた6つの式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $12x^2 + 8xy - 15y^2$

たすき掛けを用いて因数分解します。

$12x^2 + 8xy - 15y^2 = (2x + 5y)(6x - 3y) = (6x - 3y)(2x + 5y)$

さらに、$(6x - 3y) = 3(2x - y)$なので、

$12x^2 + 8xy - 15y^2 = (6x - 3y)(2x + 5y) = (6x-3y)(2x+5y)$

$12x^2 + 8xy - 15y^2 = (6x - 3y)(2x + 5y) = (2x+5y)(6x-3y)$

$12x^2 + 8xy - 15y^2 = (2x+5y)(6x-3y)$

(2) $8x^3 - 27y^3$

3乗の差の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用います。

$8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3 = (2x - 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2)$

$8x^3 - 27y^3 = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $x^2 - y^2 + 2y - 1$

$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1) = x^2 - (y - 1)^2$

これは平方の差なので、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いて

$x^2 - (y - 1)^2 = (x + (y - 1))(x - (y - 1)) = (x + y - 1)(x - y + 1)$

(4) $a^3 + 2a^2b - a - 2b$

共通因数でくくります。

$a^3 + 2a^2b - a - 2b = a^2(a + 2b) - (a + 2b) = (a^2 - 1)(a + 2b)$

さらに $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$ なので

$(a^2 - 1)(a + 2b) = (a - 1)(a + 1)(a + 2b)$

(5) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$

$2x^2 - xy - y^2 = (2x + y)(x - y)$に着目して因数分解を試みます。

$2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6 = (2x + y + A)(x - y + B)$とおくと、

$(2x + y + A)(x - y + B) = 2x^2 - 2xy + 2Bx + xy - y^2 + By + Ax - Ay + AB$

$= 2x^2 - xy - y^2 + (2B + A)x + (B - A)y + AB$

係数を比較すると、

$2B + A = -7$

$B - A = 1$

$AB = 6$

$B = A + 1$なので、

$2(A + 1) + A = -7$

$3A + 2 = -7$

$3A = -9$

$A = -3$

$B = -2$

したがって、

$2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6 = (2x + y - 3)(x - y - 2)$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) + 24 = (x+1)(x-4)(x-2)(x+3) + 24$

$= (x^2 - 3x - 4)(x^2 + x - 6) + 24$

$X = x^2 - x$ とおくと、

$(X - 2x - 4)(X + 2x - 6) + 24 = (X - 4 - 2x)(X - 6 + 2x) + 24$

$(x^2 -3x-4)(x^2+x-6)+24 = (x^2-x-2x-4)(x^2-x+2x-6)+24 = (x^2-x-4-2x)(x^2-x-6+2x)+24$

$= (x^2 -3x -4)(x^2+x-6)+24$

ここで、$y = x^2 -x$ とすると、 $(y -2x-4)(y + 2x -6)+24 = (y-4-2x)(y-6+2x)+24 = y^2 + 2xy - 6y -2xy-4xy+12x - 4y -8x+24 =$

$(x^2-x-4)(x^2-x-6)+24 = ((x^2-x)-4)((x^2-x)-6) + 24$

$u=x^2-x$ とすると

$(u-4)(u-6)+24 = u^2-10u+24+24 = u^2-10u+48$

$= (x^2-x)^2 -10(x^2-x)+48 = x^4 -2x^3 + x^2 -10x^2 + 10x +48 = x^4-2x^3-9x^2+10x+48$

$u^2 - 10u + 48 = (u - 6)(u - 8)+24$

$(u-6)(u-4) = (x^2-x-6)(x^2-x-4)=(x-3)(x+2)(x^2-x-4)+24 = (x^2-x)^2-10(x^2-x)+24+24$

$(x^2-x-4)(x^2-x-6) + 24 = x^4-x^3-6x^2-x^3+x^2+6x-4x^2+4x+24+24+24$

$(x^2-x-6)(x^2-x-4)$

$(x+2)(x-3)(x^2-x-4)+24$

$((x+2)(x-3)) = (x^2-x-6)$

$= u^2-10u+24+24$

$= u^2-10u+48$

$(x^2-x-6)(x^2-x-4)+24 = x^4-2x^3 -9x^2+10x +24+24 = x^4-2x^3-9x^2+10x+24$

$(x^2-x-6)(x^2-x-4)$

$(x^2 - x)^2 -10(x^2 - x)+48 + = (x^2 - x - p-4) = p = x^2-x$

$u= x^2 - x$

$u -6 u -4 = x

$x4-2x3-9x2+10x+48$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+5y)(6x-3y)$

(2) $(2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $(x + y - 1)(x - y + 1)$

(4) $(a - 1)(a + 1)(a + 2b)$

(5) $(2x + y - 3)(x - y - 2)$

(6) $(x^2 - x)^2 -10(x^2 - x)+48 = (x^2-x)^2 -10(x^2 - x)+48$

(1) $12x^2+8xy-15y^2 = (6x-5y)(2x+3y)$

(2) $8x^3-27y^3 = (2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$

(3) $x^2-y^2+2y-1 = (x-y+1)(x+y-1)$

(4) $a^3+2a^2b-a-2b = (a+1)(a-1)(a+2b)$

(5) $2x^2-xy-y^2-7x+y+6 = (x-y-2)(2x+y-3)$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 = (x^2-x-2)(x^2+2x-12)$

$48-26 = x^4 +124$

$x^4 -6)

$(x-3)(x-6)$

$x4 -2x3-9x2 +10x+24 = x$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)= (x2-x-2)(x2-x-12)$

$y= x^2 -x$

$(x^2-x)^2+(2x-(6)-2

$4 x2 + = (x+3)( x2

final Answer: The final answer is $\boxed{(6x-5y)(2x+3y)}$