与えられた二次関数の定義域内での最大値、最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域内での最大値、最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 4 (-2 \le x \le 2)$

まず、与えられた関数のグラフの軸を求めます。この関数は $x=0$ を軸とする下に凸な放物線です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、$x = 0$ で最小値を取り、$x = \pm 2$ で最大値を取ります。

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 4 = -4$

$x = \pm 2$ のとき、$y = 3(\pm 2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

したがって、最大値は $8$、最小値は $-4$ です。

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3 (x \ge 2)$

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

頂点の座標は $(1, 1)$ で、下に凸な放物線です。

定義域 $x \ge 2$ では、$x$ が増加するにつれて $y$ も増加します。

したがって、$x = 2$ で最小値を取り、最大値はありません。

$x = 2$ のとき、$y = 2(2-1)^2 + 1 = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

したがって、最小値は $3$、最大値はありません。

(3) $y = x^2 - 4x + 2 (-2 < x \le 4)$

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 - 4x + 2 = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = (x-2)^2 - 4 + 2 = (x-2)^2 - 2$

頂点の座標は $(2, -2)$ で、下に凸な放物線です。

定義域 $-2 < x \le 4$ において、$x = 2$ で最小値を取り、$x = -2$ に近づくほど、$y$ は大きくなります。ただし、$x=-2$は定義域に含まれないため、最大値はありません。

$x = 2$ のとき、$y = (2-2)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

$x = 4$ のとき、$y = (4-2)^2 - 2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = -2$ に近づくとき、$y = (-2-2)^2 - 2 = (-4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

したがって、最小値は $-2$、最大値はありません。

(4) $y = -x^2 - 6x + 1 (0 \le x < 2)$

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = -(x^2 + 6x) + 1 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 1 = -((x+3)^2 - 9) + 1 = -(x+3)^2 + 9 + 1 = -(x+3)^2 + 10$

頂点の座標は $(-3, 10)$ で、上に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x < 2$ では、$x$ が増加するにつれて $y$ は減少します。

したがって、$x = 0$ で最大値を取り、$x = 2$ に近づくほど、$y$ は小さくなります。ただし、$x=2$は定義域に含まれないため、最小値はありません。

$x = 0$ のとき、$y = -(0+3)^2 + 10 = -3^2 + 10 = -9 + 10 = 1$

$x = 2$ に近づくとき、$y = -(2+3)^2 + 10 = -5^2 + 10 = -25 + 10 = -15$

したがって、最大値は $1$、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：8、最小値：-4

(2) 最小値：3、最大値なし

(3) 最小値：-2、最大値なし

(4) 最大値：1、最小値なし