袋の中に番号1の玉が3個、番号2の玉が2個、番号3の玉が3個、番号4の玉が1個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を $X$ とします。このとき、$X$ の標準偏差を求めてください。

1. 問題の内容

袋の中に番号1の玉が3個、番号2の玉が2個、番号3の玉が3個、番号4の玉が1個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を $X$ とします。このとき、$X$ の標準偏差を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の確率分布を求めます。玉の総数は $3 + 2 + 3 + 1 + 1 = 10$ 個です。

* $P(X = 1) = \frac{3}{10}$

* $P(X = 2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $P(X = 3) = \frac{3}{10}$

* $P(X = 4) = \frac{1}{10}$

* $P(X = 5) = \frac{1}{10}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$$E(X) = \sum_{i=1}^5 i \cdot P(X = i) = 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} + 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3 + 4 + 9 + 4 + 5}{10} = \frac{25}{10} = 2.5$$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算します。

$$E(X^2) = \sum_{i=1}^5 i^2 \cdot P(X = i) = 1^2 \cdot \frac{3}{10} + 2^2 \cdot \frac{2}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3 + 8 + 27 + 16 + 25}{10} = \frac{79}{10} = 7.9$$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算します。

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 7.9 - (2.5)^2 = 7.9 - 6.25 = 1.65$$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1.65} \approx 1.2845$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1.65}$