袋の中に番号1, 2, 3, 4, 5の玉が入っており、それぞれの個数は3個、2個、3個、1個、1個です。この袋から玉を1つ取り出したときの番号を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布が与えられており、期待値 $E(X) = \frac{25}{10}$ が与えられています。このとき、$X$ の標準偏差を求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に番号1, 2, 3, 4, 5の玉が入っており、それぞれの個数は3個、2個、3個、1個、1個です。この袋から玉を1つ取り出したときの番号を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布が与えられており、期待値 $E(X) = \frac{25}{10}$ が与えられています。このとき、$X$ の標準偏差を求める問題です。

2. 解き方の手順

標準偏差 $\sigma$ は、分散 $V(X)$ の平方根で表されます。

$\sigma = \sqrt{V(X)}$

分散 $V(X)$ は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^5 x_i^2 P(X=x_i)$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{10} + 2^2 \cdot \frac{2}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X^2) = \frac{3}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{16}{10} + \frac{25}{10}$

$E(X^2) = \frac{79}{10}$

次に、$(E(X))^2$ を計算します。

$(E(X))^2 = (\frac{25}{10})^2 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4}$

分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{79}{10} - \frac{625}{100} = \frac{790}{100} - \frac{625}{100} = \frac{165}{100} = \frac{33}{20}$

標準偏差 $\sigma$ を計算します。

$\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{33}{20}} = \sqrt{\frac{33}{20}} = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{33}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{165}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{165}}{10}$