次の2つの2次関数の最大値または最小値を求めます。 (1) $y = -3(x-2)^2 + 2$ (2) $y = x^2 - 2x$

1. 問題の内容

次の2つの2次関数の最大値または最小値を求めます。

(1) $y = -3(x-2)^2 + 2$

(2) $y = x^2 - 2x$

2. 解き方の手順

(1) $y = -3(x-2)^2 + 2$

この関数は、平方完成された形をしています。

$(x-2)^2$ は常に0以上であるため、$-3(x-2)^2$ は常に0以下です。したがって、$y$ の最大値は、$-3(x-2)^2 = 0$ のとき、すなわち $x=2$ のときに実現されます。その時の $y$ の値は $2$ です。

最小値はありません。なぜなら、$x$ が無限大に近づくにつれて、$y$ は負の無限大に近づくからです。

(2) $y = x^2 - 2x$

この関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$

$(x-1)^2$ は常に0以上であるため、$y$ の最小値は、$(x-1)^2 = 0$ のとき、すなわち $x=1$ のときに実現されます。その時の $y$ の値は $-1$ です。

最大値はありません。なぜなら、$x$ が無限大に近づくにつれて、$y$ も無限大に近づくからです。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：2、最小値：なし

(2) 最大値：なし、最小値：-1