2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

代数学二次不等式判別式不等式
2025/6/24

1. 問題の内容

2次不等式 x2+2mxm>0x^2 + 2mx - m > 0 の解がすべての実数となるような、定数 mm の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 x2+2mxm>0x^2 + 2mx - m > 0 の解がすべての実数となるためには、2次関数 y=x2+2mxmy = x^2 + 2mx - m のグラフが常に xx 軸より上になければなりません。これは、以下の2つの条件を満たすことと同値です。
* 2次関数の係数(この場合は 11)が正であること(これは満たされています)。
* 2次方程式 x2+2mxm=0x^2 + 2mx - m = 0 が実数解を持たないこと。
2次方程式 x2+2mxm=0x^2 + 2mx - m = 0 が実数解を持たないための条件は、判別式 DD が負であることです。判別式 DD は、
D=(2m)24(1)(m)=4m2+4mD = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 4m^2 + 4m
D<0D < 0 である必要があるので、
4m2+4m<04m^2 + 4m < 0
両辺を 44 で割ると、
m2+m<0m^2 + m < 0
m(m+1)<0m(m+1) < 0
この不等式を解くと、mm の範囲は 1<m<0-1 < m < 0 となります。

3. 最終的な答え

1<m<0-1 < m < 0

「代数学」の関連問題

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

二次方程式虚数解判別式不等式
2025/6/24

半径 $r$ cm、高さ $h$ cm、体積 $V$ cm$^3$ の円錐について、体積 $V$ を表す式 $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ を、$h$ について解く。

方程式変形体積円錐
2025/6/24

問題は、空欄に適切な数値を埋めて、数式 $1 = \Box \times 18 - 2$ を完成させることです。選択肢の中から正しい数値を選びます。

方程式一次方程式数値計算
2025/6/24

問題は $1 + \log_{10} 217$ の値を求めることです。

対数対数の計算
2025/6/24

与えられた式 $2(1 + \log_2 7)$ を計算します。

対数対数の計算指数
2025/6/24

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + 3\cdot4\cdot5 + \cdots + n(n+1)(n+2)$ で定義されてい...

数列シグマ公式
2025/6/24

2次方程式 $x^2 - 5mx + m = 0$ が実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

二次方程式判別式不等式
2025/6/24

与えられた等式を指定された文字について解く問題です。 (1) $3x + 2y = 8$ を $y$ について解く。 (2) $b = \frac{a-1}{2}$ を $a$ について解く。 (3)...

方程式式の変形移項文字について解く
2025/6/24

* 売り値を基準の250円から $x$ 円変更するとします。 つまり、1個あたりの売り値は $250 + x$ 円です。 * 売上個数は、$600 - 15x$ 個となります。($x$...

二次関数最大値利益方程式最適化
2025/6/24

与えられた式 $5x^2 - 80$ を因数分解してください。

因数分解二次式
2025/6/24