1. 問題の内容
2次不等式 の解がすべての実数となるような、定数 の値の範囲を求める問題です。
2. 解き方の手順
2次不等式 の解がすべての実数となるためには、2次関数 のグラフが常に 軸より上になければなりません。これは、以下の2つの条件を満たすことと同値です。
* 2次関数の係数(この場合は )が正であること(これは満たされています)。
* 2次方程式 が実数解を持たないこと。
2次方程式 が実数解を持たないための条件は、判別式 が負であることです。判別式 は、
である必要があるので、
両辺を で割ると、
この不等式を解くと、 の範囲は となります。