$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1, W_2$ が与えられたとき、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$W_1$ と $W_2$ の定義は問題ごとに異なります。$V = W_1 \oplus W_2$ であることを示すには、次の2つの条件を満たすことを示す必要があります。 (1) $V = W_1 + W_2$ （すなわち、任意の $v \in V$ に対して、$v = w_1 + w_2$ となる $w_1 \in W_1$ と $w_2 \in W_2$ が存在する） (2) $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ ここでは、問題(1)のみを解きます。 問題(1): $W_1 = \{a \begin{bmatrix} 1 \\ 1+b \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \}, W_2 = \{c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1, W_2$ が与えられたとき、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$W_1$ と $W_2$ の定義は問題ごとに異なります。$V = W_1 \oplus W_2$ であることを示すには、次の2つの条件を満たすことを示す必要があります。

(1) $V = W_1 + W_2$ （すなわち、任意の $v \in V$ に対して、$v = w_1 + w_2$ となる $w_1 \in W_1$ と $w_2 \in W_2$ が存在する）

(2) $W_1 \cap W_2 = \{0\}$

ここでは、問題(1)のみを解きます。

問題(1):

$W_1 = \{a \begin{bmatrix} 1 \\ 1+b \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \}, W_2 = \{c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$

2. 解き方の手順

(1) $W_1$ と $W_2$ の和 $W_1 + W_2$ が $\mathbb{R}^3$ と一致することを示す。つまり、任意のベクトル $v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$ に対して、$v = w_1 + w_2$ となる $w_1 \in W_1$ と $w_2 \in W_2$ が存在することを示す。

$w_1 = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1+b \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ a+ab+b \\ -a+b \end{bmatrix}$

$w_2 = c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$

$v = w_1 + w_2$ より、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ a+ab+b+c \\ -a+b \end{bmatrix}$

これにより、次の連立方程式を得る。

$x = a$

$y = a+ab+b+c$

$z = -a+b$

これから、$a = x$, $b = z + a = z + x$, $c = y - a - ab - b = y - x - x(z+x) - (z+x) = y - 2x - xz - x^2 - z$

したがって、任意の $x, y, z \in \mathbb{R}$ に対して、$a, b, c$ が存在するので、$W_1 + W_2 = \mathbb{R}^3$ が成り立つ。

(2) $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ であることを示す。つまり、$w \in W_1 \cap W_2$ ならば、$w = 0$ であることを示す。

$w \in W_1$ より、$w = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1+b \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ a+ab+b \\ -a+b \end{bmatrix}$

$w \in W_2$ より、$w = c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$

よって、$\begin{bmatrix} a \\ a+ab+b \\ -a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$

これにより、次の連立方程式を得る。

$a = 0$

$a+ab+b = c$

$-a+b = 0$

$a = 0$ かつ $-a + b = 0$ より、$b = 0$ 。したがって、$c = a+ab+b = 0+0+0 = 0$

よって、$w = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ であるため、$W_1 \cap W_2 = \{0\}$ が成り立つ。

(1)と(2)より、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$V = W_1 \oplus W_2$