多項式 $2x^3 + ax^2 - 8x - 3$ が $2x+1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $2x^3 + ax^2 - 8x - 3$ が $2x+1$ で割り切れるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 - 8x - 3$ が $2x+1$ で割り切れるとき、$P(-\frac{1}{2}) = 0$ が成り立つ。これは因数定理による。

$x = -\frac{1}{2}$ を $P(x)$ に代入する。

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + a(-\frac{1}{2})^2 - 8(-\frac{1}{2}) - 3$

$= 2(-\frac{1}{8}) + a(\frac{1}{4}) + 4 - 3$

$= -\frac{1}{4} + \frac{a}{4} + 1$

これが0になるので、

$-\frac{1}{4} + \frac{a}{4} + 1 = 0$

$\frac{a}{4} = \frac{1}{4} - 1$

$\frac{a}{4} = -\frac{3}{4}$

$a = -3$

3. 最終的な答え

$a = -3$