袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが3本、はずれのくじが6本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、はずれくじの賞金は0円である。この袋からくじを1本取り出すときにあたる賞金を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $Y = -3X + 7$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが3本、はずれのくじが6本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、はずれくじの賞金は0円である。この袋からくじを1本取り出すときにあたる賞金を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $Y = -3X + 7$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求める。

- $X = 100$ となる確率は $P(X=100) = \frac{1}{10}$

- $X = 50$ となる確率は $P(X=50) = \frac{3}{10}$

- $X = 0$ となる確率は $P(X=0) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 100 \cdot \frac{1}{10} + 50 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} = 10 + 15 + 0 = 25$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = 100^2 \cdot \frac{1}{10} + 50^2 \cdot \frac{3}{10} + 0^2 \cdot \frac{6}{10} = 1000 + 750 + 0 = 1750$

$X$ の分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1750 - 25^2 = 1750 - 625 = 1125$

$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5}$

$Y = -3X + 7$ の期待値 $E(Y)$ を求める。

$E(Y) = E(-3X + 7) = -3E(X) + 7 = -3(25) + 7 = -75 + 7 = -68$

$Y = -3X + 7$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

$\sigma(Y) = |-3| \sigma(X) = 3 \sigma(X) = 3 \cdot 15\sqrt{5} = 45\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = -68$

標準偏差 $\sigma(Y) = 45\sqrt{5}$