4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生の出した手に対して生徒が同時に手を出し、勝った生徒のみが勝ち残る。あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。以下の確率を求める。 (1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率 (2) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率 (3) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生の出した手に対して生徒が同時に手を出し、勝った生徒のみが勝ち残る。あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できない。以下の確率を求める。

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

(2) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

(3) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんが勝ち残る確率

先生はグー、チョキ、パーのいずれかを出す可能性があり、それぞれ確率は $1/3$。

太郎さんが勝ち残るためには、先生がグーを出したとき太郎さんがチョキを出すか、先生がチョキを出したとき太郎さんがパーを出すか、先生がパーを出したとき太郎さんがグーを出す必要がある。先生がグー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ $1/3$ である。

太郎さんが勝つのは、先生がグーを出した時に太郎さんがチョキを出す場合のみ。

したがって、太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

ア = 1

イ = 3

(2) ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

生徒一人一人が勝ち残る確率は $1/3$ であるから、勝ち残らない確率は $1 - 1/3 = 2/3$。

4人の中から2人が勝ち残る組み合わせの数は ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$。

したがって、ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は、

$6 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

ウ = 6

(3) ちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

2人の生徒が勝ち残る組み合わせは ${}_4C_2 = 6$ 通り。

そのうち、太郎さんが含まれている組み合わせは、太郎さんともう一人の生徒を選ぶ組み合わせなので、3通り（(太郎,花子)、(太郎,次郎)、(太郎,月子)）。

したがって、条件付き確率は、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

エ = 1

オ = 2

3. 最終的な答え

ア / イ = 1/3

ウ = 6

エ / オ = 1/2