白玉3個と黒玉2個が入った袋から、玉を元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉が出る回数をXとする。このとき、確率変数 $Y = -5X + 3$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉2個が入った袋から、玉を元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉が出る回数をXとする。このとき、確率変数 $Y = -5X + 3$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Xの確率分布を求める。Xは白玉が出る回数なので、$X = 0, 1, 2$ のいずれかとなる。

- X=0 (2回とも黒玉が出る)の場合：

確率は $P(X=0) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

- X=1 (1回だけ白玉が出る)の場合：

確率は $P(X=1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

- X=2 (2回とも白玉が出る)の場合：

確率は $P(X=2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

次に、Xの期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

次に、$E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{3}{5} + 2^2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{3}{5} + \frac{12}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Xの分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$

Xの標準偏差 $\sigma(X)$ を計算する。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Yの期待値 $E(Y)$ を計算する。

$E(Y) = E(-5X + 3) = -5E(X) + 3 = -5 \times \frac{6}{5} + 3 = -6 + 3 = -3$

Yの標準偏差 $\sigma(Y)$ を計算する。

$\sigma(Y) = \sigma(-5X + 3) = |-5|\sigma(X) = 5 \times \frac{3}{5} = 3$

3. 最終的な答え

期待値 E(Y): -3

標準偏差 σ(Y): 3