1から3の数字が書かれた玉がそれぞれ3個ずつ、合計9個入っている箱から、玉を戻さずに2回取り出す。1回目の玉の数字を$X$、2回目の玉の数字を$Y$としたとき、$X$と$Y$の同時分布を求めよ。

1. 問題の内容

1から3の数字が書かれた玉がそれぞれ3個ずつ、合計9個入っている箱から、玉を戻さずに2回取り出す。1回目の玉の数字を$X$、2回目の玉の数字を$Y$としたとき、$X$と$Y$の同時分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、考えられる全ての組み合わせを考えます。$X$と$Y$はそれぞれ1, 2, 3のいずれかの値を取り得ます。

次に、各組み合わせになる確率を計算します。全体の取り出し方は、$9 \times 8 = 72$通りです。

* $P(X=1, Y=1)$: 1回目に1が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に1が出たとき、2回目に1が出る確率は$2/8 = 1/4$。よって、$P(X=1, Y=1) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$。

* $P(X=1, Y=2)$: 1回目に1が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に1が出たとき、2回目に2が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=1, Y=2) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=1, Y=3)$: 1回目に1が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に1が出たとき、2回目に3が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=1, Y=3) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=2, Y=1)$: 1回目に2が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に2が出たとき、2回目に1が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=2, Y=1) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=2, Y=2)$: 1回目に2が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に2が出たとき、2回目に2が出る確率は$2/8 = 1/4$。よって、$P(X=2, Y=2) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$。

* $P(X=2, Y=3)$: 1回目に2が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に2が出たとき、2回目に3が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=2, Y=3) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=3, Y=1)$: 1回目に3が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に3が出たとき、2回目に1が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=3, Y=1) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=3, Y=2)$: 1回目に3が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に3が出たとき、2回目に2が出る確率は$3/8$。よって、$P(X=3, Y=2) = (1/3) \times (3/8) = 1/8$。

* $P(X=3, Y=3)$: 1回目に3が出る確率は$3/9 = 1/3$。1回目に3が出たとき、2回目に3が出る確率は$2/8 = 1/4$。よって、$P(X=3, Y=3) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$。

最後に、$X$と$Y$の周辺分布を求めます。

* $P(X=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) + P(X=1, Y=3) = 1/12 + 1/8 + 1/8 = 1/3$

* $P(X=2) = P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=2, Y=3) = 1/8 + 1/12 + 1/8 = 1/3$

* $P(X=3) = P(X=3, Y=1) + P(X=3, Y=2) + P(X=3, Y=3) = 1/8 + 1/8 + 1/12 = 1/3$

同様に、

* $P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) = 1/12 + 1/8 + 1/8 = 1/3$

* $P(Y=2) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=2) = 1/8 + 1/12 + 1/8 = 1/3$

* $P(Y=3) = P(X=1, Y=3) + P(X=2, Y=3) + P(X=3, Y=3) = 1/8 + 1/8 + 1/12 = 1/3$

3. 最終的な答え

| X/Y | 1 | 2 | 3 | 計 |

| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| 1 | 1/12 | 1/8 | 1/8 | 1/3 |

| 2 | 1/8 | 1/12 | 1/8 | 1/3 |

| 3 | 1/8 | 1/8 | 1/12 | 1/3 |

| 計 | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |