1, 2, 3, 4の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚, 1枚, 1枚, 1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。Xの確率分布は与えられており、その期待値 $E(X) = \frac{4}{5}$ である。確率変数 $Y = -5X + 12$ の期待値と標準偏差を求める際に、確率変数Xの標準偏差を求める必要がある。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚, 1枚, 1枚, 1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。Xの確率分布は与えられており、その期待値 $E(X) = \frac{4}{5}$ である。確率変数 $Y = -5X + 12$ の期待値と標準偏差を求める際に、確率変数Xの標準偏差を求める必要がある。

2. 解き方の手順

確率変数Xの標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散 $V(X)$ の平方根である。

まず、分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X)$ は既に与えられているので、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$

確率分布表より、$P(X=0) = \frac{3}{10}, P(X=1) = \frac{6}{10}, P(X=2) = \frac{1}{10}$

したがって、$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{3}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{1}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は分散の平方根なので、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

Xの標準偏差は $\frac{3}{5}$