定数 $a$ を用いて定義された関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ （$0 \le x \le 2$）の最小値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて定義された関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ （$0 \le x \le 2$）の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、放物線の頂点の座標は $(a, -3a^2 + 2)$ となります。

次に、$0 \le x \le 2$ という範囲における最小値を求めます。頂点の位置 $x=a$ がこの範囲内にあるか、範囲外にあるかで場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=0$ で最小値を取ります。

$y(0) = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

したがって、最小値は $2$ です。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、頂点 $x=a$ が区間 $[0, 2]$ に含まれるので、$x=a$ で最小値を取ります。

$y(a) = -3a^2 + 2$

したがって、最小値は $-3a^2 + 2$ です。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=2$ で最小値を取ります。

$y(2) = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

したがって、最小値は $14 - 12a$ です。

まとめると、

- $a < 0$ のとき、最小値は $2$

- $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

- $a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値：2

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値：$-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値：$14 - 12a$