2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$と$\frac{1}{\beta^2}$を解とする2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$と$\frac{1}{\beta^2}$を解とする2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$と$\alpha\beta$の値を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$

$\alpha\beta = \frac{1}{2}$

次に、$\frac{1}{\alpha^2}$と$\frac{1}{\beta^2}$を解とする2次方程式を求めるために、$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$と$\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2}$の値を計算します。

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(-3)^2 - 2(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{9 - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\frac{1}{4}} = 32$

$\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha\beta)^2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

$\frac{1}{\alpha^2}$と$\frac{1}{\beta^2}$を解とする2次方程式は、$x^2 - (\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2})x + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = 0$ の形になります。

したがって、

$x^2 - 32x + 4 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 32x + 4 = 0$