2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$ (5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ (6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ (7) $\alpha - \beta$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

(7) $\alpha - \beta$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha\beta = 3$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めるには、 $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ の関係を使います。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$ を求めるには、 $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$ を使います。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta = -2 - 2(3) = -2 - 6 = -8$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を求めるには、 $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$ を使います。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 3(2) = 6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$ を求めるには、 $(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$ の関係を使います。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 2^3 - 3(3)(2) = 8 - 18 = -10$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ を展開すると $\alpha\beta + \alpha + \beta + 1$ となります。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を通分すると $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ となります。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

(7) $(\alpha - \beta)^2 = -8$ より、$\alpha - \beta = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

$\alpha - \beta = \pm 2\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = -8$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = -10$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = 6$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = -\frac{2}{3}$

(7) $\alpha - \beta = \pm 2\sqrt{2}i$