関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ について、$x=1$ における微分係数を定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義式は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x}$、$a=1$ なので、これらを定義式に代入します。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - \frac{1}{1}}{h}$

次に、分子を計算します。

$\frac{1}{1+h} - 1 = \frac{1 - (1+h)}{1+h} = \frac{-h}{1+h}$

これを代入して、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{1+h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1+h)}$

$h \neq 0$なので、$h$で約分できます。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1+h}$

最後に、$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(1) = \frac{-1}{1+0} = -1$

3. 最終的な答え

$-1$