箱の中に青玉5個、赤玉3個、白玉1個が入っている。これらの玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとする。XとYの同時分布を求めなさい。つまり、XとYの組み合わせ（(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0)）について、それぞれの確率を計算し、表を埋める。

確率論・統計学同時分布確率組み合わせ周辺分布

2025/3/29

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

まず、合計9個の玉から2個取り出す場合の総数を計算する。これは順列で計算すると、9P2 = 9 * 8 = 72通り。組み合わせで計算すると、9C2 = (9 * 8) / (2 * 1) = 36通り。問題は「同時分布」を求めているので、組み合わせで考えるのが適切。よって分母は36になる。

それぞれの(X, Y)の組み合わせに対する確率を計算する。

* (X, Y) = (0, 0): 青玉も赤玉も取り出さない場合。つまり、2回とも白玉を取り出すか、1回白玉、1回赤玉の順、もしくは1回白玉、1回青玉の順の場合を考慮する。　白玉1個なので2回とも白玉はありえない。白玉と青玉の組み合わせ：1*5 = 5。白玉と赤玉の組み合わせ：1*3 = 3。合計：5+3=8通り。 8/36 = 2/9

* (X, Y) = (0, 1): 青玉を取り出さず、赤玉を1個取り出す場合。1個は赤玉で、もう1個は青玉以外。よって、赤玉1個、白玉1個の組み合わせとなる。 3 * 1 = 3通り。 3/36 = 1/12

* (X, Y) = (0, 2): 青玉を取り出さず、赤玉を2個取り出す場合。3個の赤玉から2個取り出す組み合わせを計算する。 3C2 = (3 * 2) / (2 * 1) = 3通り。 3/36 = 1/12

* (X, Y) = (1, 0): 青玉を1個取り出し、赤玉を取り出さない場合。1個は青玉で、もう1個は赤玉以外。よって、青玉1個、白玉1個の組み合わせとなる。 5 * 1 = 5通り。 5/36

* (X, Y) = (1, 1): 青玉を1個、赤玉を1個取り出す場合。青玉5個から1個選び、赤玉3個から1個選ぶ。 5 * 3 = 15通り。 15/36 = 5/12

* (X, Y) = (2, 0): 青玉を2個取り出し、赤玉を取り出さない場合。5個の青玉から2個取り出す組み合わせを計算する。 5C2 = (5 * 4) / (2 * 1) = 10通り。 10/36 = 5/18

表の「計」の欄は、それぞれのXの値に対する確率の合計（周辺分布）を表す。

* X = 0の場合の計: 8/36 + 3/36 + 3/36 = 14/36 = 7/18

* X = 1の場合の計: 5/36 + 15/36 = 20/36 = 5/9

* X = 2の場合の計: 10/36 = 5/18

これらの合計は 7/18 + 5/9 + 5/18 = (7 + 10 + 5)/18 = 22/18となり、どこかで間違っているので再計算

総数が36になることは確認済み。

* (0,0): 白玉１個、赤玉３個から２つ選ぶか白玉１つとそれ以外１つ。　玉の選び方 (3C2 + 3C1 * 1C1 ) = (3 + 3) = 6 /36 = 1/6