与えられた方程式 $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求めます。

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この方程式は、$x^2$ についての二次方程式の形をしているので、$x^2 = t$ とおいて解きます。

$t = x^2$ とすると、方程式は

$t^2 + 7t - 8 = 0$

となります。

この二次方程式を解きます。因数分解を使って解くと、

$(t + 8)(t - 1) = 0$

したがって、$t = -8$ または $t = 1$ となります。

$t = x^2$ であったので、$x^2 = -8$ または $x^2 = 1$ となります。

$x^2 = -8$ のとき、$x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$ となります（$i$ は虚数単位）。

$x^2 = 1$ のとき、$x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, 2\sqrt{2}i, -2\sqrt{2}i$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この三次方程式を解くために、因数定理を利用します。

まず、$x$ にいくつかの値を代入してみて、方程式が $0$ になるような値を探します。

$x = 1$ を代入すると、$1^3 + 3(1^2) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となります。

したがって、$x - 1$ は因数です。

次に、$x^3 + 3x^2 - 4$ を $x - 1$ で割ります。

```

x^2 + 4x + 4

x - 1 | x^3 + 3x^2 + 0x - 4

-(x^3 - x^2)

-------------

4x^2 + 0x

-(4x^2 - 4x)

-------------

4x - 4

-(4x - 4)

-------------

0

```

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)$ となります。

$x^2 + 4x + 4$ は $(x + 2)^2$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 = 0$ となります。

したがって、$x - 1 = 0$ または $(x + 2)^2 = 0$ となります。

$x - 1 = 0$ のとき、$x = 1$ となります。

$(x + 2)^2 = 0$ のとき、$x = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, -2$ ($-2$ は重解)