数列$\{a_n\}$が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = 3a_n + 2$を満たすとき、一般項$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = 3a_n + 2$を満たすとき、一般項$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を解きます。

まず、特性方程式 $x = 3x + 2$ を解きます。

$x = 3x + 2$ より、 $-2x = 2$ となり、$x = -1$ が得られます。

次に、漸化式を変形します。

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは等比数列であり、$b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ です。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ となります。

$b_n = a_n + 1$ より、$a_n = b_n - 1$ であるから、$a_n = 3^n - 1$ が一般項です。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 1$