数列 $\{a_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + (\frac{2}{3})^{n+1}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、漸化式は次のようになります。

$b_{n+1} = b_n + (\frac{2}{3})^{n+1}$

この漸化式を解くために、 $b_{n+1} - b_n = (\frac{2}{3})^{n+1}$ を $n=1$ から $n=k-1$ まで足し合わせます。

$\sum_{n=1}^{k-1} (b_{n+1} - b_n) = \sum_{n=1}^{k-1} (\frac{2}{3})^{n+1}$

左辺は $b_k - b_1$ となり、右辺は初項 $(\frac{2}{3})^2$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列の和なので、

$b_k - b_1 = \frac{(\frac{2}{3})^2(1 - (\frac{2}{3})^{k-1})}{1 - \frac{2}{3}}$

$b_k - b_1 = \frac{4}{9} \cdot \frac{1 - (\frac{2}{3})^{k-1}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} (1 - (\frac{2}{3})^{k-1})$

$b_k = b_1 + \frac{4}{3} (1 - (\frac{2}{3})^{k-1})$

ここで、$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{2}{3}$ なので、

$b_k = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (1 - (\frac{2}{3})^{k-1}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^{k-1} = 2 - \frac{4}{3}(\frac{2}{3})^{k-1} = 2 - 2(\frac{2}{3})^k$

したがって、$b_n = 2 - 2(\frac{2}{3})^n$

$a_n = 3^n b_n = 3^n (2 - 2(\frac{2}{3})^n) = 2 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n$

$a_n = 2 \cdot 3^n - 2^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^n - 2^{n+1}$