与えられた不等式 $\log_2 x + \log_2 (x-3) \le 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\log_2 x + \log_2 (x-3) \le 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x > 0$ かつ $x-3 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 3$ が必要です。

次に、対数の性質を用いて不等式を整理します。

$\log_2 x + \log_2 (x-3) = \log_2 (x(x-3))$

したがって、不等式は次のようになります。

$\log_2 (x(x-3)) \le 2$

底が2なので、指数関数に変換すると不等号の向きは変わりません。

$x(x-3) \le 2^2$

$x(x-3) \le 4$

$x^2 - 3x \le 4$

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

$(x-4)(x+1) \le 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲は $-1 \le x \le 4$ です。

しかし、真数条件 $x > 3$ を満たす必要があります。

したがって、$3 < x \le 4$ が最終的な範囲となります。

3. 最終的な答え

$3 < x \le 4$