$a$ を実数の定数とし、$x$ についての3次方程式 $x^3 - 3x^2 + a - 5 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とし、$x$ についての3次方程式 $x^3 - 3x^2 + a - 5 = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を変形すると、

$x^3 - 3x^2 + a - 5 = 0$

$a = -x^3 + 3x^2 + 5$

$f(x) = -x^3 + 3x^2 + 5$ とおく。

$f(x)$ のグラフを描き、$a$ の条件を満たす範囲を求める。

$f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, 2$。

$x=0$ のとき、$f(0) = 5$。

$x=2$ のとき、$f(2) = -8 + 12 + 5 = 9$。

増減表は以下の通り。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| ---- | --- | - | --- | - | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 5 | ↑ | 9 | ↓ |

$x$ が正の範囲で、異なる2つの正の実数解を持つためには、

$a$ は $5 < a < 9$ を満たす必要がある。

ただし、 $x=0$の解は除外する必要がある。

ここで、$f(x)=a$ が異なる2つの正の実数解を持つ条件は、

$5 < a < 9$ である。

3. 最終的な答え

$5 < a < 9$