不等式 $\frac{1}{2} \le (\frac{1}{8})^x < 32$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{2} \le (\frac{1}{8})^x < 32$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を書き換えます。

$$\frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^x < 32$$

$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{8}$, $32$ を2の累乗で表します。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, $32 = 2^5$

これらを不等式に代入します。

$$2^{-1} \le (2^{-3})^x < 2^5$$

$$2^{-1} \le 2^{-3x} < 2^5$$

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係は不等号の向きと同じになります。

$$-1 \le -3x < 5$$

各辺を-3で割ります。負の数で割るので不等号の向きが変わります。

$$\frac{-1}{-3} \ge x > \frac{5}{-3}$$

$$\frac{1}{3} \ge x > -\frac{5}{3}$$

$$-\frac{5}{3} < x \le \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{3} < x \le \frac{1}{3}$