画像の問題は、(1) 因数分解、(2) 集合、(3) 三角関数、(4) 順列、(5) 統計に関する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

画像の問題は、(1) 因数分解、(2) 集合、(3) 三角関数、(4) 順列、(5) 統計に関する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2 - 2x + 1$ の因数分解:

$x^2 - 2x + 1 - y^2 = (x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 + y)(x - 1 - y) = (x + y - 1)(x - y - 1)$

(2) $A = \{x | a \le x \le a + 1\}$, $B = \{x | x < -3 \text{ or } 2 < x\}$ かつ $A \cap B = \emptyset$ となる $a$ の範囲:

$A$ が $B$ と共通部分を持たないためには、$a+1 \le -3$ または $a \ge 2$ である必要があります。

$a + 1 \le -3$ より $a \le -4$

$a \ge 2$

したがって、$a \le -4$ または $a \ge 2$

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\tan \theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値:

$\tan \theta = -\sqrt{3}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = 120^\circ$

(4) A, A, A, B, B, C, D の 7 文字を横一列に並べる場合の数と、AAA と BB が連続している場合の数:

7 文字の並べ方の総数は $\frac{7!}{3!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 420$ 通り

AAA と BB をそれぞれ1つの塊と考えると、AAA, BB, C, D の4つの並び方を考えれば良い。

並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り

(5) データ 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10 の四分位範囲と分散:

データの大きさは $n = 10$

第一四分位数 $Q_1$ は $n/4 = 2.5$ より3番目の値と4番目の値の中間の値なので、$(6 + 8)/2 = 7$

第三四分位数 $Q_3$ は $3n/4 = 7.5$ より8番目の値と9番目の値の中間の値なので、$(10 + 10)/2 = 10$

四分位範囲 $IQR = Q_3 - Q_1 = 10 - 7 = 3$

平均 $\mu = \frac{5 + 6 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 10}{10} = \frac{80}{10} = 8$

分散 $\sigma^2 = \frac{(5-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2}{10}$

$= \frac{9 + 4 + 4 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 4 + 4}{10} = \frac{30}{10} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $(x + y - 1)(x - y - 1)$

(2) $a \le -4$ または $a \ge 2$

(3) $120^\circ$

(4) 420通り、24通り

(5) 3点、3