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与えられた式 $(x-2y+3z)(x+2y-3z)$ を展開し、整理せよ。

代数学展開因数分解多項式
2025/6/23

1. 問題の内容

与えられた式 (x−2y+3z)(x+2y−3z)(x-2y+3z)(x+2y-3z) を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

この式は、(x−(2y−3z))(x+(2y−3z))(x-(2y-3z))(x+(2y-3z)) のように見ることができるので、和と差の積の公式 (a−b)(a+b)=a2−b2 (a-b)(a+b)=a^2-b^2 を利用する。
この公式において、a=xa=x、b=2y−3zb=2y-3z とすると、
(x−(2y−3z))(x+(2y−3z))=x2−(2y−3z)2 (x-(2y-3z))(x+(2y-3z)) = x^2 - (2y-3z)^2
次に、(2y−3z)2(2y-3z)^2 を展開する。
(2y−3z)2=(2y)2−2(2y)(3z)+(3z)2=4y2−12yz+9z2 (2y-3z)^2 = (2y)^2 - 2(2y)(3z) + (3z)^2 = 4y^2 - 12yz + 9z^2
したがって、
x2−(2y−3z)2=x2−(4y2−12yz+9z2)=x2−4y2+12yz−9z2 x^2 - (2y-3z)^2 = x^2 - (4y^2 - 12yz + 9z^2) = x^2 - 4y^2 + 12yz - 9z^2

3. 最終的な答え

x2−4y2+12yz−9z2x^2 - 4y^2 + 12yz - 9z^2

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