関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \leq 3\sqrt{3}$ の範囲における $y$ の値域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \leq 3\sqrt{3}$ の範囲における $y$ の値域を求めます。

2. 解き方の手順

$y = \log_3 x$ は底が3であり、3 > 1 なので、単調増加関数です。したがって、$x$ が小さいほど $y$ の値は小さく、$x$ が大きいほど $y$ の値は大きくなります。

まず、$x = \frac{1}{3}$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

次に、$x = 3\sqrt{3}$ のときの $y$ の値を求めます。

$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$y = \log_3 3\sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

したがって、$y$ の値域は $-1 < y \leq \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \frac{3}{2}$