2つの関数 $y = \log_2 x$ と $y = \log_3 x$ のグラフとして正しいものを選択する問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = \log_2 x$ と $y = \log_3 x$ のグラフとして正しいものを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数関数の基本的な性質を確認します。

- 対数関数 $y = \log_a x$ は、$a > 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加する単調増加関数です。

- $x = 1$ のとき、$y = \log_a 1 = 0$ となるため、グラフは必ず点 $(1, 0)$ を通ります。

- 底 $a$ が大きいほど、同じ $x$ の値に対して $y$ の値は小さくなります。これは、底の変換公式から確認できます。

底の変換公式は以下です。

$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

特に、$b$ として自然対数の底 $e$ を選ぶと、

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

となります。この式から、$a$ が大きくなると、$\ln a$ も大きくなるので、$\log_a x$ の値は小さくなることが分かります。

したがって、$y = \log_2 x$ と $y = \log_3 x$ のグラフを比較すると、$y = \log_2 x$ の方が $y = \log_3 x$ よりも大きい $y$ の値を取ります（$x>1$の場合）。つまり、$y=\log_2 x$ のグラフは $y=\log_3 x$ のグラフよりも上に位置します。与えられたグラフでは、$y = \log_2 x$ のグラフが $y = \log_3 x$ のグラフよりも下に描画されているため、グラフのラベルが逆になっています。問題文からグラフは正しいものを選ぶとあるので、グラフ自体は問題なく、ラベルが逆になっている選択肢を選びます。

3. 最終的な答え

画像では、$y = \log_3 x$ のグラフが、$y = \log_2 x$ よりも上にある（yの値が大きい）。これは、$x>1$の場合の対数関数の性質に反するので、与えられたグラフのラベルは、$y = \log_2 x$ と $y = \log_3 x$ が入れ替わっています。

したがって、グラフ自体は正しいのですが、$y=\log_2 x$と$y=\log_3 x$のラベルが間違っています。この問題は正しいグラフを選ぶ問題なので、もし選択肢が他に無いのであれば、与えられたグラフが答えとなります。