$\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 5$, $\log_{2} \frac{1}{4}$ の値を小さい順に並べる。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 5$, $\log_{2} \frac{1}{4}$ の値を小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を評価する。

$\log_{\frac{1}{2}} 3$:

底が $\frac{1}{2}$ で 1 より小さいので、真数が大きいほど値は小さくなる。$\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$ であり、$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$である。また$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$である。$\log_{\frac{1}{2}} 3$ は負の値であり、$3 > 1$ なので、$\log_{\frac{1}{2}} 3 < 0$である。 $\frac{1}{2}^x = 3$ となる $x$ を考えれば良い。

$\log_{\frac{1}{2}} 3 = \frac{\log 3}{\log \frac{1}{2}} = \frac{\log 3}{-\log 2} = -\frac{\log 3}{\log 2} \approx -1.58$

$\log_{\frac{1}{4}} 5$:

底が $\frac{1}{4}$ で 1 より小さいので、真数が大きいほど値は小さくなる。$\log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$ であり、$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} = 1$である。

$\log_{\frac{1}{4}} 5 = \frac{\log 5}{\log \frac{1}{4}} = \frac{\log 5}{-\log 4} = \frac{\log 5}{-\log 2^2} = -\frac{\log 5}{2\log 2} \approx -\frac{0.699}{2 \times 0.301} \approx -1.16$

$\log_{2} \frac{1}{4}$:

$\log_{2} \frac{1}{4} = \log_{2} 2^{-2} = -2$

したがって、値の小さい順に並べると $\log_{2} \frac{1}{4} < \log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 5$

3. 最終的な答え

$\log_{2} \frac{1}{4}$, $\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 5$