(1)と(2)の行列式を計算せよ。また、与えられた4x4行列を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(1)と(2)の行列式を計算せよ。また、与えられた4x4行列を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列式

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

について、以下の手順で計算する。

1. 3行目を基準にして、1行目から3行目の-5倍、2行目から3行目の3倍、4行目から3行目の-2倍をそれぞれ引く。

$\begin{vmatrix} 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

2. 1列目について余因子展開する。

$\begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ 1 & -2 & 11 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

3. 2行目を基準にして、1行目から2行目の7倍、3行目から2行目の1倍をそれぞれ引く。

$\begin{vmatrix} 0 & -15 & 46 \\ 1 & -2 & 11 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

4. 1列目について余因子展開する。

$\begin{vmatrix} -15 & 46 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$

5. 行列式を計算する。$(-15) \times 2 - 46 \times (-1) = -30 + 46 = 16$

(2) 行列式

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

について、以下の手順で計算する。

1. 1列目を基準にして、2行目から1列目の-3/2倍、3行目から1列目の1倍、4行目から1列目の-1/2倍をそれぞれ引く。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 4.5 & 7 & 1.5 \\ 0 & -6 & -8 & -2 \\ 0 & 7.5 & 3 & -1.5 \end{vmatrix}$

2. 1列目について余因子展開する。

$2 \times \begin{vmatrix} 4.5 & 7 & 1.5 \\ -6 & -8 & -2 \\ 7.5 & 3 & -1.5 \end{vmatrix}$

3. 1行目を基準にして、2行目から1行目の4/3倍、3行目から1行目の-5/3倍をそれぞれ引く。

$2 \times \begin{vmatrix} 4.5 & 7 & 1.5 \\ 0 & 4/3 & 0 \\ 0 & -26/3 & -4 \end{vmatrix}$

4. 1列目について余因子展開する。

$2 \times 4.5 \times \begin{vmatrix} 4/3 & 0 \\ -26/3 & -4 \end{vmatrix}$

5. 行列式を計算する。$2 \times 4.5 \times (4/3 \times (-4) - 0 \times (-26/3)) = 9 \times (-16/3) = -48$

(3) 行列式

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

について、以下の手順で因数分解する。

1. 1列目から3列目を引く。

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ 0 & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

2. 1列目を基準に余因子展開を行う。

$(y-x) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} + (y-x) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & y \\ x & y & x \end{vmatrix}$

3. 最初の3x3行列の1行目から2行目を引き、2番目の3x3行列の2行目から1行目を引く。

$(y-x) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} = (y-x)^2\begin{vmatrix} x & x \\ y & x \end{vmatrix}$

$(y-x) \begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & y \\ x & y & x \end{vmatrix} = (x-y)\begin{vmatrix} y & x & x \\ x & y & y \\ x & y & x \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} y & x & x \\ y & y & x \\ x & y & x \end{vmatrix} = (y-x) * (x^2-xy) = (y-x)x(x-y)$

$(x-y)^2[x^2-xy] = (x-y)^2[y^2-yx]$

4. $y-x = -(x-y)$とおくと

$(y-x)^2\begin{vmatrix} x & x \\ y & x \end{vmatrix} = (x-y)^2(x^2-xy)$

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} = (x-y)^3(x+3y)$

3. 最終的な答え

(1) 16

(2) -48

(3) $(x-y)^3(x+3y)$