与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし $\lambda_1 < \lambda_2$) を求め、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ として、$x_{21}$ と $x_{12}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし $\lambda_1 < \lambda_2$) を求め、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ として、$x_{21}$ と $x_{12}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$

である。ここで、$I$ は単位行列である。したがって、

$\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 6 \\ 2 & 6-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(6-\lambda) - (6)(2) = 0$

$\lambda^2 - 8\lambda + 12 - 12 = 0$

$\lambda^2 - 8\lambda = 0$

$\lambda(\lambda - 8) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 0$ と $\lambda_2 = 8$ である。

次に、固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 0$ のとき、

$(A - \lambda_1 I)x_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2 + 6x_{21} = 0$

$6x_{21} = -2$

$x_{21} = -\frac{1}{3}$

$\lambda_2 = 8$ のとき、

$(A - \lambda_2 I)x_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 2-8 & 6 \\ 2 & 6-8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x_{12} + 6 = 0$

$6x_{12} = 6$

$x_{12} = 1$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = 0$

$\lambda_2 = 8$

$x_{21} = -\frac{1}{3}$

$x_{12} = 1$