$a > 0$ のとき、2次関数 $y = -x^2 + 2x + 4$ ($0 \le x \le a$) について、次の値を求めます。また、そのときの $x$ の値を求めます。 (1) 最大値 (2) 最小値 (画像にはまだ表示されていません)

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、2次関数 $y = -x^2 + 2x + 4$ ($0 \le x \le a$) について、次の値を求めます。また、そのときの $x$ の値を求めます。

(1) 最大値

(2) 最小値 (画像にはまだ表示されていません)

2. 解き方の手順

(1) 最大値

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 4$

$y = -(x^2 - 2x) + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$

$y = -((x - 1)^2 - 1) + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 5$

この式から、グラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, 5)$ であることがわかります。

したがって、$x = 1$ のとき最大値 $5$ をとります。

$0 \le x \le a$ の範囲で考えます。

$a$ の値によって最大値を取る場所が変わる可能性があります。

もし $a \ge 1$ ならば、$x=1$ で最大値 $5$ をとります。

もし $a < 1$ ならば、$x=0$ で最大値をとります。$y = -0^2 + 2(0) + 4 = 4$ となります。

(2) 最小値

$y = -(x - 1)^2 + 5$

$0 \le x \le a$ の範囲で考えます。

放物線の軸は $x = 1$ です。

$a$ の値によって最小値を取る場所が変わります。

* $0 < a < 1$ のとき：$x = a$ で最小値をとります。最小値は $y = - (a - 1)^2 + 5 = - (a^2 - 2a + 1) + 5 = -a^2 + 2a + 4$ となります。

* $a = 1$ のとき：$x = 0$ または $x = 1$ で $y = 4$ となり、$x = 1$で$y = 5$となります。よって、$x = a = 1$で$y=5$となり、$x = 0$ で最小値 $4$ をとります。

* $a > 1$ のとき：$x = 0$ で最小値をとります。最小値は $y = - (0 - 1)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$5$ ($x = 1$ のとき。$a \ge 1$ の場合。もし $a < 1$ ならば、 $x=0$ で 最大値4)

(2) 最小値：

* $0 < a < 1$ のとき：$-a^2 + 2a + 4$ ($x = a$ のとき)

* $a \ge 1$ のとき：$4$ ($x = 0$ のとき)