多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - x + 7$ を、それぞれ $x+1$, $x-1$, $x+2$, $x-2$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - x + 7$ を、それぞれ $x+1$, $x-1$, $x+2$, $x-2$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ に等しいというものです。

(1) $x+1$ で割った余り：

$x+1=0$ となる $x$ の値は $x=-1$ です。

したがって、$P(-1)$ を計算します。

$P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) + 7 = -1 + 3 + 1 + 7 = 10$

(2) $x-1$ で割った余り：

$x-1=0$ となる $x$ の値は $x=1$ です。

したがって、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - (1) + 7 = 1 + 3 - 1 + 7 = 10$

(3) $x+2$ で割った余り：

$x+2=0$ となる $x$ の値は $x=-2$ です。

したがって、$P(-2)$ を計算します。

$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - (-2) + 7 = -8 + 12 + 2 + 7 = 13$

(4) $x-2$ で割った余り：

$x-2=0$ となる $x$ の値は $x=2$ です。

したがって、$P(2)$ を計算します。

$P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - (2) + 7 = 8 + 12 - 2 + 7 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $x+1$ で割った余り：10

(2) $x-1$ で割った余り：10

(3) $x+2$ で割った余り：13

(4) $x-2$ で割った余り：25