3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 5 = 0$ の一つの解が $x = 2 - i$ であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 5 = 0$ の一つの解が $x = 2 - i$ であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式の係数が実数であるため、複素数解 $2 - i$ を持つ場合、共役複素数 $2 + i$ も解となる。したがって、$x = 2 - i$ と $x = 2 + i$ は解である。

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より以下が成り立つ。

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -5$

ここで、$\alpha = 2 - i, \beta = 2 + i$ とおく。

$\alpha + \beta = (2 - i) + (2 + i) = 4$

$\alpha\beta = (2 - i)(2 + i) = 2^2 - (i)^2 = 4 - (-1) = 5$

したがって、$5\gamma = -5$ より $\gamma = -1$

$a = -(\alpha + \beta + \gamma) = -(4 - 1) = -3$

$b = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 5 + (2 + i)(-1) + (2 - i)(-1) = 5 - 2 - i - 2 + i = 1$

したがって、$a = -3, b = 1$

他の解は $2 + i$ と $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 1$

他の解は $2 + i$ と $-1$