与えられた3次式を因数分解し、$ (x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma) $ の形で表す。ただし、$\alpha \leq \beta \leq \gamma$ とする。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数分解し、$(x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma)$ の形で表す。ただし、$\alpha \leq \beta \leq \gamma$ とする。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を因数分解する。

まず、この式に $x = 1$ を代入すると、

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$

となるので、$x - 1$ は因数である。

組み立て除法を用いると、

| 1 | 1 -6 11 -6 |

|---|---|

| | 1 -5 6 |

|---|---|

| | 1 -5 6 0 |

よって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

さらに、$x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

したがって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

(2)

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ を因数分解する。

まず、この式に $x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + 10(-2)^2 + 31(-2) + 30 = -8 + 40 - 62 + 30 = 0$

となるので、$x + 2$ は因数である。

組み立て除法を用いると、

| -2 | 1 10 31 30 |

|---|---|

| | -2 -16 -30 |

|---|---|

| | 1 8 15 0 |

よって、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x + 2)(x^2 + 8x + 15)$

さらに、$x^2 + 8x + 15$ を因数分解すると、

$x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$

したがって、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x + 2)(x + 3)(x + 5)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

(2) $(x + 2)(x + 3)(x + 5)$