2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき, $\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とし, $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ.

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき, $\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とし, $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ.

2. 解き方の手順

まず,与えられた2次方程式を整理します。

$-x^2 + 4x + 2 = 0$ の両辺に $-1$ をかけて

$x^2 - 4x - 2 = 0$

解と係数の関係より,

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = -2$

求める2次方程式の2つの解は $\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ であるから, 解と係数の関係を利用して, 解の和と積を計算します。

解の和:

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{4}{-2} = -2$

解の積:

$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

したがって, $x^2$ の係数が1で, 解が $\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ である2次方程式は

$x^2 - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})x + \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = 0$

$x^2 - (-2)x + (-\frac{1}{2}) = 0$

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$