$ax^2 + bx + c = 0$ (ただし、$a, b, c$ は実数で、$a \neq 0$) の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。また、$t^2 + pt + q = 0$ の2つの解を $\frac{\alpha}{\beta}, \frac{\beta}{\alpha}$ とする。 (1) $p, q$ を $a, b, c$ で表す。 (2) $\alpha, \beta$ が虚数となる条件は、$t^2 + pt + q = 0$ が虚数解を持つことであることを示す。 (3) 複素数平面上で、3点 $0, \frac{\alpha}{\beta}, \frac{\beta}{\alpha}$ が正三角形を作る条件は、$b^2 = (2 \pm \sqrt{3})ac$ であることを示す。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

$ax^2 + bx + c = 0$ (ただし、$a, b, c$ は実数で、$a \neq 0$) の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。また、$t^2 + pt + q = 0$ の2つの解を $\frac{\alpha}{\beta}, \frac{\beta}{\alpha}$ とする。

(1) $p, q$ を $a, b, c$ で表す。

(2) $\alpha, \beta$ が虚数となる条件は、$t^2 + pt + q = 0$ が虚数解を持つことであることを示す。

(3) 複素数平面上で、3点 $0, \frac{\alpha}{\beta}, \frac{\beta}{\alpha}$ が正三角形を作る条件は、$b^2 = (2 \pm \sqrt{3})ac$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ である。

$t^2 + pt + q = 0$ の解は $\frac{\alpha}{\beta}, \frac{\beta}{\alpha}$ なので、解と係数の関係より、

$p = -(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}) = -\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = -\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = -\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b^2 - 2ac}{ac}$

$q = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = 1$

(2) $\alpha, \beta$ が虚数であるとき、$ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。

$t^2 + pt + q = 0$ の判別式 $D' = p^2 - 4q = (\frac{b^2 - 2ac}{ac})^2 - 4 = \frac{(b^2 - 2ac)^2 - 4a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{b^4 - 4ab^2c + 4a^2c^2 - 4a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{b^2(b^2 - 4ac)}{a^2c^2}$

$b^2 - 4ac < 0$ なので、$D' < 0$ となり、$t^2 + pt + q = 0$ は虚数解を持つ。

(3) 複素数平面上で、$0, z_1, z_2$ が正三角形をなす条件は、$z_1^2 + z_2^2 = z_1z_2$ である。

$z_1 = \frac{\alpha}{\beta}, z_2 = \frac{\beta}{\alpha}$ なので、

$(\frac{\alpha}{\beta})^2 + (\frac{\beta}{\alpha})^2 = (\frac{\alpha}{\beta})(\frac{\beta}{\alpha}) = 1$

$\frac{\alpha^2}{\beta^2} + \frac{\beta^2}{\alpha^2} = 1$

$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha^2\beta^2$

$(\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2\beta^2 = \alpha^2\beta^2$

$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = 3\alpha^2\beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = \pm \sqrt{3}\alpha\beta$

$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \pm \sqrt{3}\alpha\beta$

$(\alpha + \beta)^2 = (2 \pm \sqrt{3})\alpha\beta$

$(-\frac{b}{a})^2 = (2 \pm \sqrt{3})\frac{c}{a}$

$\frac{b^2}{a^2} = (2 \pm \sqrt{3})\frac{c}{a}$

$b^2 = (2 \pm \sqrt{3})ac$

3. 最終的な答え

(1) $p = -\frac{b^2 - 2ac}{ac}$、 $q = 1$

(2) $\alpha, \beta$ が虚数になる条件は、$t^2 + pt + q = 0$ が虚数解をもつ。

(3) $b^2 = (2 \pm \sqrt{3})ac$