多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 16x - 48$ について、(1) $x-3$ と (2) $x+4$ がそれぞれ因数であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 16x - 48$ について、(1) $x-3$ と (2) $x+4$ がそれぞれ因数であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

因数定理を利用します。因数定理とは、多項式 $P(x)$ において、$P(a)=0$ ならば、$x-a$ は $P(x)$ の因数であるというものです。

(1) $x-3$ が $P(x)$ の因数であるかを調べるには、$P(3)$ を計算します。

$P(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 16(3) - 48 = 27 + 27 - 48 - 48 = 54 - 96 = -42$

$P(3) = -42 \neq 0$ なので、$x-3$ は $P(x)$ の因数ではありません。

(2) $x+4$ が $P(x)$ の因数であるかを調べるには、$P(-4)$ を計算します。

$P(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 16(-4) - 48 = -64 + 48 + 64 - 48 = 0$

$P(-4) = 0$ なので、$x+4$ は $P(x)$ の因数です。

3. 最終的な答え

(1) $x-3$ は因数ではない。

(2) $x+4$ は因数である。