与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($ \lambda_1 < \lambda_2$) と、対応する固有ベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) と、対応する固有ベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は、$|A - \lambda I| = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 5-\lambda & -2 \\ -2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)^2 - (-2)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 25 - 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 21 = (\lambda - 3)(\lambda - 7) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = 7$ です。問題文で $\lambda_1 < \lambda_2$ とあるので、$\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 7$ となります。

次に、固有ベクトルを求めます。

(1) $\lambda_1 = 3$ の場合: $(A - 3I)x_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 5-3 & -2 \\ -2 & 5-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2 - 2x_{21} = 0$ より、$x_{21} = 1$ となります。

(2) $\lambda_2 = 7$ の場合: $(A - 7I)x_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 5-7 & -2 \\ -2 & 5-7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x_{12} - 2 = 0$ より、$x_{12} = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = 3$

$\lambda_2 = 7$

$x_{21} = 1$

$x_{12} = -1$