関数 $y = x^2 - 2ax$ の $-1 \le x \le 3$ における最小値を、$a$ の範囲によって求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ の $-1 \le x \le 3$ における最小値を、$a$ の範囲によって求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

この関数の軸は $x = a$ です。定義域 $-1 \le x \le 3$ の範囲で、軸の位置によって最小値が変わります。

(i) $a < -1$ のとき：

定義域 $-1 \le x \le 3$ において、関数は単調増加です。したがって、$x = -1$ で最小値をとります。

$y_{min} = (-1)^2 - 2a(-1) = 1 + 2a$

(ii) $-1 \le a \le 3$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$y_{min} = (a - a)^2 - a^2 = -a^2$

(iii) $3 < a$ のとき：

定義域 $-1 \le x \le 3$ において、関数は単調減少です。したがって、$x = 3$ で最小値をとります。

$y_{min} = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

問題文の形式に合わせると以下のようになります。

* $a < -1$ のとき、最小値は $1 + 2a$ (ア)

* $-1 \le a \le 3$ のとき、最小値は $-a^2$ (ウ)

* $3 < a$ のとき、最小値は $9 - 6a$ (サ)

3. 最終的な答え

ア: -1

イ: 1 + 2a

ウ: 3

エ: 9 - 6a

サ: 3